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函数方程求解世界滚动

2023-07-02 10:46:09来源：个人图书馆-123xyz123

题目如下:

文章中会使用一些数学符号:

(资料图片仅供参考)

即 "令" 即 "恒等于" 即非负整数集即正整数集即整数集即有理数集即非负有理数集即 "对于任意的/所有的"

一上来没有太多思路的情况下最好的做法就是试值. 通过观察函数方程的结构, 注意到最令人头疼的是, 所以我们希望消除复合函数. 自然会想到

这样我们知道一个满足该方程的函数是 , 接下来只需要讨论的情况. 因为我们已知, 自然要去利用这个条件, 所以因此是函数方程的另一个解. 下面继续讨论的情况. 我们目前知道的值, 下面自然会想到求出的值. 此时我们试值时要注意到不能继续使用, 因为这只会让我们知道另外, 注意到方程的结构非常容易操作, 因为大部分函数内并没有再次进行运算, 唯一需要特别关注的是和两项. 比较容易想到我们已经获得了大量的信息, 因此现在不妨大胆猜测.

猜想1:

我们希望验证刚才提出的猜想, 即 . 我们该怎么验证呢？实际上, 可以参考刚才的思路. 一开始, 我们得出 , 从而推出 , 进而结合前面的结论推出. 其实我们是在个命题全部正确性的基础上, 推出命题是正确的, 其中代表.

令代表命题, 若其中任意命题错误, 错误, 反之正确. 我们之前的操作证明了对于 , , 现在我们希望证明 . 下面进行证明：

已知对于某,

由于

知

证明完毕后, 我们发现该证明可以直接使用. 这并不是大的问题, 也不会影响我们后续的证明, 所以无需修改.

这种证明方式, 即利用以及一些特殊情况 (base case) 的正确性来证明某猜想的一般性被称为数学归纳法, 是一种常见的证明方法.

结论1:

接下来的两部分证明具有一定的挑战性. 既然我们已经讨论完正整数的情况, 接下来自然会想到将证明拓展到非负有理数情况 (即完成非负数部分证明). 不妨设有理数为 . 经过合理的猜测, 我们希望证明

这并不好证明, 即使结合之前的结论也很难直接证明. 因此, 这种情况下一般会想到将题目及题目条件换一种方式表达出来. 对于这道题, 我们可以从两个方面考虑:

尽量避免"复杂形式=简单形式"的等式, 例如这里提出的. 原因也是很显然的, 因为这样很难看出其本质与结构特征, 并且可能省略了一些关键信息.函数内尽量避免分数, 因为没法处理.

有了这两条"原则", 经过一些尝试后题目可转化为

到这里貌似遇到了困难, 所以再从之前证明的结论中寻找切入点. 目前我们不是很清楚如何使用之前的结论, 不妨再次尝试试值.

猜想2:

在这个阶段, 我们并不确定怎么避开分数, 因为试值的目的就是分析的性质. 但是, 我们尽量避免出现类似的情况, 因为这样会将我们的证明复杂化.

此时, 我们要考虑

并由此得出

我们希望能将原方程转化为

其中是与有关的函数表达式. 因此, 可将原方程整理为

结合,

由

结论2:

接下来证明负数的情况. 我们依然考虑利用这一项作为突破点, 毕竟这允许我们结合对非负整数成立的性质来求解. 若继续使用跟前面一样的试值方法会遇到一些困难 (可以自行尝试, 留作练习). 因此, 可以先对条件尽可能地进行转化. 这里需要进行尝试, 但计算量并不大, 主要是利用之前的结论对方程进行展开, 并且要取原方程中的主要条件. 因为想从上突破, 所以令.

结合以上结论得

由得

接下来有许多种处理方式, 在此我们介绍一个比较巧妙的函数方程组. 先看方法：

通过已知结论及, 构造

那么我们为什么会想到这一步呢？实际上, 我们发现的偶数次迭代给我们带来了非常强的结论, 我们此时希望达到一个最好的情况, 也就是能将奇数次迭代的表达式与一个数字进行直接的比较, 而我们目前只能将的情况写为一个数字, 因此会想到用. 也正是因为直接比较的需求, 我们希望能利用在正有理数域上的单调性将表达式简化, 因此会想到取的平方. 经过大胆的尝试, 我们就可以得到以上方程组.相减, 并考虑在上的单调性：

若,

矛盾. 因为符合原方程, 则. 这里使用其他测试值也能得到矛盾, 不再展开说明.

对负数的情况使用数学归纳法, 再使用处理分数的思路 (留作练习), 可得出

或或

容易验证这些函数均满足原方程. 证毕.

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